Gesammelte mathematische Abhandlungen: Liniengeometrie. Grundlegung der Geometrie. Zum Erlanger Programm. Hrsg. von R. Fricke und A. Ostrowski

Cover
J. Springer, 1921
 

Was andere dazu sagen - Rezension schreiben

Es wurden keine Rezensionen gefunden.

Andere Ausgaben - Alle anzeigen

Häufige Begriffe und Wortgruppen

Beliebte Passagen

Seite 463 - Es ist eine Mannigfaltigkeit und in derselben eine Transformationsgruppe gegeben; man soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen Gebilde hinsichtlich solcher Eigenschaften untersuchen, die durch die Transformationen der Gruppe nicht geändert werden.
Seite 489 - Reihe von Vertauschungen der Wurzeln ungeändert bleiben. Bei der Behandlung einer Mannigfaltigkeit unter Zugrundelegung einer Gruppe fragen wir entsprechend zunächst nach den Körpern (§ 5), nach den Gebilden, die durch alle Transformationen der Gruppe ungeändert bleiben. Aber es gibt Gebilde, welche nicht alle aber einige Transformationen der Gruppe zulassen, und diese sind dann im Sinne der auf die Gruppe gegründeten Behandlung besonders interessant, sie haben ausgezeichnete Eigenschaften....
Seite 463 - Es gibt nun räumliche Transformationen, welche die geometrischen Eigenschaften räumlicher Gebilde überhaupt ungeändert lassen. Geometrische Eigenschaften sind nämlich ihrem Begriffe nach unabhängig von der Lage, die das zu untersuchende Gebilde im Räume einnimmt, von seiner absoluten Größe, endlich auch von dem Sinne11), in welchem seine Teile geordnet sind.
Seite 93 - Betracht kommen, da sie schon erledigt sind. Andererseits besteht sie aus den sechs ausgezeichneten Haupttangentenkurven achter Ordnung, die den sechs linearen Komplexen angehören. Es geht dies daraus hervor, daß die singulären Linien dieser Komplexe, wie schon angeführt, Doppeltangenten der Fläche sind. Weitere Kurven umfaßt die Kurve vierpunktiger Berührung nicht, da die aufgezählten zusammen die richtige Ordnung, 80, besitzen. Wir müssen jetzt die Zahl der Durchschnittspunkte einer Haupttangentenkurv...
Seite 154 - Element: xl = 0, #4 = 0, x4 = 0, p = 0, welches im Folgenden ausgezeichnet werden soll, ist dabei ein unter den übrigen der Mannigfaltigkeit P= 0 angehörigen beliebig ausgewähltes. In der nunmehr hergestellten Gleichungsform kann die Mannigfaltigkeit P = 0 ohne Weiteres auf eine allgemeine Mannigfaltigkeit von drei Dimensionen eindeutig abgebildet werden , ganz dem entsprechend, wie die Abbildung einer Fläche zweiten Grades auf die Ebene durch Projection von einem Puncte der Fläche aus erfolgt.
Seite 482 - Transformationen), man weiss, dass sie sich durch Zusammensetzung quadratischer erzeugen lassen. Man kennt auch invariante Charaktere der ebenen Curven : ihr Geschlecht, die Existenz der Moduln; aber eigentlich zu einer Geometrie der Ebene in dem hier gemeinten Sinne entwickelt sind diese Betrachtungen noch nicht. Im Räume ist die ganze Theorie noch erst im Entstehen begriffen. Von den rationalen Umformungen kennt man bis jetzt nur wenige und benutzt dieselben , um bekannte Flächen mit unbekannten...
Seite 250 - ... ziehen: diejenigen beiden Linien, welche den Punkt mit den beiden Schnittpunkten der gegebenen Geraden und der Fundamentalfläche verbinden. Ein Dreieck mit unendlich fernen Ecken, dh ein Dreieck, dessen Eckpunkte auf der Fundamentalfläche liegen, hat die Winkelsumme Null. Denn je zwei Linien, welche sich auf der Fundamentalfläche schneiden (je zwei Parallele) schließen einen Winkel gleich Null ein usw. Endlich repräsentiert die Konstante c, mit der der Logarithmus des betr. Doppelverhältnisses...
Seite 307 - Räume besitzt; mit anderen Worten, man wird den folgenden Satz aufstellen können: „In einem begrenzten Räume sei eine unendliche Zahl überall stetig gekrümmter, nur durch die Begränzung des Raumes geendigter Flächen gegeben, welche die folgende...
Seite 257 - ... keine Parallele ziehen. Eine auf diese Vorstellungen gegründete Geometrie würde sich in ganz gleicher Weise neben die gewöhnliche, Euklidische Geometrie stellen, wie die soeben erwähnte Geometrie von Gauss, Lobatchefsky, Bolyai. Während letztere der Geraden zwei unendlich ferne Punkte ertheilt, gibt diese der Geraden überhaupt keine (dh zwei imaginäre) unendlich ferne Punkte. Zwischen beiden steht die Euklidische Geometrie als Uebergangsfall; sie legt der Geraden zwei zusammenfallende...
Seite 257 - Dreiecke) grösser 1 ) ist, als zwei Rechte , und zwar in dem Masse grösser als das Dreieck einen grösseren Inhalt hat. Die gerade Linie würde alsdann keine unendlich fernen Punkte haben, und man könnte durch einen gegebenen Punkt zu einer gegebenen Geraden überhaupt keine Parallele ziehen.

Bibliografische Informationen