FELIX KLEIN GESAMMELTE MATHEMATISCHE ABHANDLUNGEN

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Häufige Begriffe und Wortgruppen

Beliebte Passagen

Seite 463 - Es gibt nun räumliche Transformationen, welche die geometrischen Eigenschaften räumlicher Gebilde überhaupt ungeändert lassen. Geometrische Eigenschaften sind nämlich ihrem Begriffe nach unabhängig von der Lage, die das zu untersuchende Gebilde im Räume einnimmt, von seiner absoluten Größe, endlich auch von dem Sinne11), in welchem seine Teile geordnet sind.
Seite 93 - Betracht kommen, da sie schon erledigt sind. Andererseits besteht sie aus den sechs ausgezeichneten Haupttangentenkurven achter Ordnung, die den sechs linearen Komplexen angehören. Es geht dies daraus hervor, daß die singulären Linien dieser Komplexe, wie schon angeführt, Doppeltangenten der Fläche sind. Weitere Kurven umfaßt die Kurve vierpunktiger Berührung nicht, da die aufgezählten zusammen die richtige Ordnung, 80, besitzen. Wir müssen jetzt die Zahl der Durchschnittspunkte einer Haupttangentenkurv...
Seite 463 - Räume nur eine mehrfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, also, indem wir an der gewohnten Vorstellung des Punktes als Raumelement festhalten, eine dreifach ausgedehnte. Nach Analogie mit den räumlichen Transformationen reden wir von Transformationen der Mannigfaltigkeit; auch sie bilden Gruppen. Nur ist nicht mehr, wie im Räume, eine Gruppe vor den übrigen durch ihre Bedeutung ausgezeichnet; jede Gruppe ist mit jeder anderen gleichberechtigt. Als Verallgemeinerung der Geometrie entsteht so das folgende...
Seite 307 - Räume besitzt; mit anderen Worten, man wird den folgenden Satz aufstellen können: „In einem begrenzten Räume sei eine unendliche Zahl überall stetig gekrümmter, nur durch die Begränzung des Raumes geendigter Flächen gegeben, welche die folgende...
Seite 154 - Element: xl = 0, #4 = 0, x4 = 0, p = 0, welches im Folgenden ausgezeichnet werden soll, ist dabei ein unter den übrigen der Mannigfaltigkeit P= 0 angehörigen beliebig ausgewähltes. In der nunmehr hergestellten Gleichungsform kann die Mannigfaltigkeit P = 0 ohne Weiteres auf eine allgemeine Mannigfaltigkeit von drei Dimensionen eindeutig abgebildet werden , ganz dem entsprechend, wie die Abbildung einer Fläche zweiten Grades auf die Ebene durch Projection von einem Puncte der Fläche aus erfolgt.
Seite 482 - Transformationen), man weiss, dass sie sich durch Zusammensetzung quadratischer erzeugen lassen. Man kennt auch invariante Charaktere der ebenen Curven : ihr Geschlecht, die Existenz der Moduln; aber eigentlich zu einer Geometrie der Ebene in dem hier gemeinten Sinne entwickelt sind diese Betrachtungen noch nicht. Im Räume ist die ganze Theorie noch erst im Entstehen begriffen. Von den rationalen Umformungen kennt man bis jetzt nur wenige und benutzt dieselben , um bekannte Flächen mit unbekannten...
Seite 465 - Prinzip in Kraft, wobei die Hauptgruppe nun die kleinere Gruppe ist. Wir erhalten so: Ersetzt man die Hauptgruppe durch eine umfassendere Gruppe, so bleibt nur ein Teil der geometrischen Eigenschaften erhalten. Die übrigen erscheinen nicht mehr als Eigenschaften der räumlichen Dinge an sich, sondern als Eigenschaften des Systems, welches hervorgeht, wenn man denselben ein ausgezeichnetes Gebilde hinzufügt.
Seite 158 - P = 0 der Fall war. Hiermit ist denn unser allgemeiner Satz für ein beliebiges n, insbesondere das in ihm enthaltene liniengeometrische Theorem bewiesen. Ich will hier von der auseinandergesetzten Theorie noch zwei weitere geometrische Anwendungen geben. Die erste bezieht sich wieder auf Liniengeometrie. Man verbinde nämlich mit der quadratischen Gleichung, der die Linien-Coordinaten zu genügen haben: P = 0, eine lineare.
Seite 157 - Geraden bez. m'- und m" -fach enthalten. Dieselben treffen, wie verlangt, die Ebene des Kegelschnittes nur in Punkten des Kegelschnittes, aber vollständige Schnitte würden sie erst dann vorstellen, wenn m' = m

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