Abbildungen der Seite
PDF

itiven und negativen Zahlen: „Gesetze der VerÄ und Ungleichun ksjht auf die pösitiven und“negat

Abschn. W 1e vier Grundopera

Faktoren. –

[ocr errors]

. Ä der Aggregate_lation. Von der Zins

eihen höherer Ordnung. Fall der Körper. Perio

[ocr errors]
[ocr errors]

1en mit Zahlen, welche durch ein bestimmtes Theildrselhen; independente, rekurrirende, inyo

hlensystem ausgedrückt sind. Von der abgekürz

lutorische Kombinatorik, Variationen u. s. w. zu be

Multiplication und Division der Decimalzahlen. triers Pegel der Ä , Anh... Zu

Äiejteien überhäuft A Ä ufgäof W. 4, Flächen- und Körpermaassé.“ Ä ÄbF flé, welche die Anwendung der dekodich izungen gewährt. Allgemeiner Beweis dereko tze von der Abkürzung der Zählen irgêhdes Systems. Uebungsbeispielé. AöschfWT *Vdh r Ausziehung der Quadrat - Ä nh. Allgemeine Beziehungen. Gergorines Methö ro Quadratwurzelausziehüng. Uebunbeispiele. rundformel zur Ausziehung der fünften R ürzel. -5schn. VII. Von den einfachen und zusainmèngetzten Zahlen. Allgemeine Lehrsätze. Kennzeien der Theilbarkeit einer Zahl durch andere Zahn mit Rücksicht auf das dekadische System. Anh. llgemeine die Theilbarkeit betreffende Lehritze. Eigenschaften der geraden und ingeradeh ählen. Eigenschaften der vollständigen Quadrat1d Kubikzahlen. Eigenschaften der absoluten und lativen Primzahlen. Aufsuchung des grössten geeinschaftlichen Theilers zweier Polynome. Eigenhaften der Zahlen in Beziehung auf das dekadische ystem. Die periodischen Decimalbrüche. – Abschn. VIII. Von den Potenzen, Wurzeln und Logarithren. Anh. Uebungsaufgaben. – Abschn. IA. Ton den algebraischen Gleichungen des ersten Graes mit einer und mit mehr als einer Hauptgrösse nd von der Auflösung der Aufgaben vermittelst der lgebraischen Gleichungen. Anh. Unmittelbare Betimmung jeder von n Ä aus eben so viel infachen Gleichungen. Beispiele. – Abschn. A. Ton den quadratischen Gleichungen. Fourier’s Aufösungsweise. Anh. Uehungsaufgaben. Grundeienschaften der imaginären Wurzelausdrücke. – Abschn. XI. Allgemeine Eigenschaften der Kettenrüche. Einfache Kettenbrüche. Periodische Ketenbrüche. Anh. Erweiterung der allgemeinen Eienschaften. Independente Darstellungsweise der Näherungsbrüche. Ausziehung der Quadratwurzel. Jehungsaufgaben... – Abschn. XII. Von der unbetimmten Analytik. Anh. Uebungsaufgaben zur Auflösung einfacher unbestimmter Gleichungen. Zyklische Perioden u. s. w. Unbestimmte quadratiché Gleichungen. – Abschn. XIII. Von den Reien: Aflgemeine Begriffsbestimmungen. Figurirte Zahlen. Arithmetische Reihen. Geometrische Reien. Binominal – Reihe. Anwendung der Methode er unhestimmten Koefficienten auf die Verwandlung iniger Funktionen in Reihen. Von der Konvergenz nd Divergenz der Reihen. V 'rogressionen. Anh. Zahlenbeispiele. Allgemoere Aufgaben und Anwendungen. Geometrische

[ocr errors]

Vom Interpoliren der

stimmten SüñFET, TWechselbeziehüñgenTEFTkombinatorischen Operationen. Rechnender Theil der Kombinationsleifd.TAKnifyébillig/déf Kombinationsauf di Ä tik. Ä atorische A Ä. ÖäÄ

[ocr errors]
[ocr errors]

len Wurzeln.

[ocr errors]

\\ Ä der rationalen W P Yurzelridsor Zohongleichung Ä Ä ÄÄ yierten Grades. Eliminaiónji Üehnjäufj ben. Ueber die imaginären Wurzeln, Ä ze. Die Gaussische Erweiterung des Coesischen Lehrsatzes. . . . . . .jjj : 39 27/ iT "Was die Vertheilung der Abschnitéélaufdia verschiedenen Schulklassen anlagt, so hat den Vfädis beiden ersten für die vierte Abtheilung, die vier fcbgenden für die dritte bestimmt, sb dass in letzterer auch die Lehre von den Irrationalzahlen vorkommen soll. Dieses scheint dem Rec. denn doch zu gewagt und sicher heisst es dem Geiste eines Schülers der dritten Klasse zu viel zumuthen, wenn er sich eine richtige Vorstellung von Irrationalzahlen machen soll, während er noch Nichts von Potenzen und Wurzeln weiss, denn die Ausdrücke Quadrat und Kubus, welche schon in den beiden ersten Abschnitten vorkommen, können und dürfen ihm noch-nichts Anderes seyn als Benennungen für die Produkte aus zwei oder drei gleichen Faktoren, keineswegs aber die zweite und dritte Potenz als specielle Fälle der Potenz im Allgemeinen. – Der 7te, 8te, 9te und 10te Abschnitt sind für die zweite Klasse und die fünf letzten für Prima bestimmt. . . . . . . .

Für höchst zweckmässig ist es zu halten, dass der Vf. gleich von Anfang an, schon bei den ersten Elementen die Idee der Gleichung anwendet und de Schüler die so sehr einfache, schon in der Natix der Bezeichnung begründete Auflösung der Gleichung vom ersten Grade lehrt, nicht gerade, dass er ihn ein besonderes Kapitel widnöte jäÄ indem ör sie als ganz beiläufig, als sich vönselhst ergebend béi Gelegenheit der Umformung algebraischér “Ausdrücke mittheilt. Ebenso muss man dem Vf. Dank wissen, dass er der Theorie der Ungleichungen eine besondere Aufmerksamkeit geschenkt hät, indem er sie vollstndig, so weit es für den Ä Zweck nig war, als abgesonderte Lehre behändelte, während sie in allen dem Rec. bekannten Lehrbüchern übergängen wird und nur einzelne Sitze daraus bei gelegentlichen Gebrauch ohne gehörigen

[graphic]
[ocr errors]

esêténissige Anorjüungsweise zu gewöhnen. Dass Ä # ässig ja durchaus nothwendi #ey, Ford Niemand Ä n, aber der Vf. geht Hiérin zu weit. – Einen wesentlichen Vorzug la; gegen, den dieses Lehrbuch vor vielen, jä vielleic vor allen sonstigen vöraus hat, ist noch dieser, dass der Vf. beständig auf den innern Zusammenhang der Lehren Huhtéro éinaider aufmerksam maéht; sobald er einen allgemeinen Standpunkt erreicht hat, unterlässt jäÄf hinzuweisen, wie die schon früher gefüüdeich specielleren Regeln in diesem allgemeineren oder äusgedehnterem Satze enthalten sind, um so dem Schüler zu zeigen, dass die Arithmetik ein geordnetes Ganzes ist und nicht bloss eine Zusammenstellung von verschiedenen unter einander unabThängigen und beliebig zusammengewürfelten Rechnungsregeln. Im Abschn. VIII. §. 64–66 besindet sich ein Ueberblick über das gesammte Gebiet der niedern Arithmetik, weil der Vf. hier die höchste Stufe erreicht hat, welche die Tendenz des Buches zulässt. Er theilt die bis dahin behandelten Rechnungsoperationen in direkte (Addition, Multiplikation und Potenzirung) und indirekte (Subtraktion, Division, Radicirung und Exponentiirung) und führt, um die Uebereinstimmung deutlicher hervorzuheben, mehr übereinstimmende Zeichen ein, welche, da sie nur für diesen Zweck bestimmt und angewandt werden, gewiss zu billigen sind. Die an dieser Stelle angeführten Analogieen bekommen daÄ ein sehr augenfälliges und interessantes AusSEMI. - , * * In den Anhängen findet man eine grosse Menge stets zum Abschnitt passender und beinahe durchgängig höchst zweckmässig gewählter, mitunter aus

gezeichnet schöner Aufgaben. Besonders ist hierbei

zu loben, dass selbst schon der Anfänger durch sie angeleitet wird mit algebraischen Ausdrücken gewandt nmzugehen und besonders auf elegante Lösung und Resultate zu sehen, was nur zu oft vernachlässigt wird, indem nicht allein Schüler, sondern häufig sogar Lehrer Alles gethan zu haben glauben,

wenn sie bei einer Aufgabe nur das richtige Resultat herausbekommen, aber gar nicht darauf sehen,

ob der Weg, auf welchem sie dahin gelangen, einfach und zweckmässig ist oder nicht. – Ausserdem finden sich in den Anhängen manche interessante und interessant behandelte Gegenstände; so z. B. verdient der Vf. gewiss vollen Dank, dass er in Anh. zu Abschn. 1V sub Num. N. von der meist ganz unberücksichtigt gelasseueu Zerlegung der Aggregate

in Faktoren, als von einem ganz selbstständigen Gegenstande handelt; nur möchte Rec. dieses nicht ausschliesslich in den Anhang verwiesen, sondern auch Manches davon für den Abschnitt selbst, d. h. für den Schulunterricht bestimmt haben.

Im Allgemeinen möchten noch einige Benennungen, welche durch das ganze Buch gehen nicht gerade zu billigen seyn: so ist der Ausdruck umgekehrter Werth statt des zum termints technes gewordenenrecorder Herth gebraucht – die Benenning unbekannte oder gesuchte Grösse einer Gleichung ist unnöthiger Weise mit Hauptgrösse vertauscht – für das von Gauss eingeführte Zeichen (=) für die Congruenz zweier Zahlen ist ein anderes (DO) gewählt u. dgl. m. Es ist aber immer nicht allein überflüssig, sondern auch gefährlich, neue, wenn auch passendere Namen für die einmal durch den Gebrauch sanctionirten und allgemein verständlichen einzuführen; dergleichen bringt immer Verwirrung in die Wissenschaft und erschwert deren Studium, denn man muss sich bei jedem neuen Buche erst in die dem Verfasser eigenthümliche Terminologie hineindenken und wohl gar bei verschiedenen Autoren unter demselben Namen sich gänzlich Verschiedenes denken. Wollte man aber mit den Benennungen in der Mathematik streng verfahren, um sie stets der durch sie bezeichneten Sache gehörig anzupassen, so müsste man gewiss neun und neunzig Huuderttheile der gewöhnlich durch zufällige Nebenbedeutung entstandenen Namen verwerfen: wie könnte man z. B. die zunächst liegenden Namen Algebra, Geometrie u. dergl. beibehalten?

Um nun mehr ins Detail einzugehen, so ist der Vf., nachdem er im ersten und zweiten Abschnitt die vier Species mit absoluten Zahlen ganz zweckmässig durchgenommer, im dritten zu den Irrationalzahlen übergegangen. Derselbe stellt auf S. 48 die Aufgabe: „Zu zwei gleichartigen gegebenen Grössen eine dritte zu finden, von welcher jene beiden Vielfache sind, unter der Voraussetzung, dass es eine solche giebt" – und löst sie mit folgenden Worten: „Sind A und B die gegebenen Grössen, und z. B.

[merged small][merged small][ocr errors][merged small][ocr errors][ocr errors]
[graphic]
[graphic]
[ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small]

ich der hierin erwähnte oben ausgeschlossene Ä. kann Niemand wissen, da von einer Üjerscheidung mehrerer Fälle vorher gar nicht die Rede war. Doch hiervon abgesehen, S0 kann Rec. jh nicht begreifen, wie ein Schüler, der bisher nur von ganzen oder gebrochenen rationalen Zahlen gehört hat, sich irgend Etwas unter dem hier Gesagten denken kann; wie sollte er wohl durch das Bisherige zu der Vorstellung kommen können, dass es Zahlén (und nur um solche handelt es sich hier) geben könne, welche nicht wo Ä die Einheit oder irgend einen angebbaren Theil der Einheit ZUlII. gemeinschaftlichen Maasse hätten? „Uns scheint es Äurchaus nothwendig, dass man mit der Potenzenjung vertraut seyn müsse, um die Lehre von den Irrationälzahlen richtig auffassen zu können. Denn jelbst durch das bei dieser Gelegenheit aus der Geoje beigebrachte Beispiel, dass Kathete und Hyjuse“ eines gleichschenkligen rechtwinkligen Ä incommensurabel seyen, wird der Schüler j keineswegs zur Idee von ineommensurabeln Zahlengrössen kommen, da er gerade das sich nicht wird denken, wie beide Linien durch Zahlen darÄtellbar sind, wenn sie nicht ein gemeinsames Maass

[merged small][ocr errors][ocr errors][merged small]

BERLIN, b. Duncker u. Humblot: Yorlesungen über Glauben und Wissen, als Einleitung in die Dogmatl und Religionsphilosophie – – von Dr.jjn Eduard Erdmann u. s. w. (Beschluss von Nr. 102.) . . . » Am Schluss bemerkt der Vf.: die Unférsuchung indem sie in ihren Anfang zurückkehre, Ä Andres gewesen, als eine Ilias und Odyssee des religiösen Bewusstseyns; er wünsche seinen Zuhörern Mittel an die Hand gegeben zu haben, den lockj Sirenen zu entgehen, denen sie es vorbeischij hen, und Lust, in der alten Heimath sich an j deln; sey sie verlassen, so bedürfe es freilicjer Irrfahrten, um die treue Penelope wieder zu j den. Bei diesem artigen Gleichniss bleibend, möchten, wohl andre Seefahrer gegen die geographischen und ethnographischen Angaben des Vj Wendungen zu machen haben. Allein bedejej der Umstand, dass die Wiedergefundenen uicht mehr dieselben zu seyn scheinen. Äm Ende Vorliegender Odyssee des religiösen Bewusstseyns nämlich j wir nicht bloss mit einem neuern Dichter –j bar Hegeln und dessen Lehre kennt – sagen: „Gott hört und liest sich selber in den Dichterj "; soj auch: „Gott hört und liest sich selber in den Pj phen"; und noch weiter: „Gott Predigt sich selber in der Predigt, betet zu sich selber im Gejjj möchte den religiösen Bewusstseyn schwerlich j alte Heimath dünken, und ist gewiss der Grund, weswegen nicht Alle, welche die dialektische Fj to Führng eines Hegelkundigen Odysseusjehen sich entschlossen, in jener Wiedergewiesenen Heimath die rechte ihrige anerkennen wollen, und warum so Viele die Ansiedelung ablehnj“ “

[ocr errors]

-

[graphic]

ALLGEMEINE LITERATUR - zEITUNG

Junius 1 838.

MATHEMATIK.

HALLE, in d. Waisenhaus. – Buchh.: Lehrbuch der Mathematik für Gymnasien und Realschulen – – von Johann Heinrich Traugott Müller Erster Theil u. s. w.

(Fortsetzung von Nr. 103.)

Im vierten Abschnitte finden sich die Rechnungsoperationen mit Aggregaten und darunter ein Kapitel über positive und negative Zahlen, welchen letzteren der Vf. die Ohmsche Definition, dass nämlich eine negative Zahl der Unterschied zwischen 0 und irgend einer Zahl sey, zum Grunde legt. Diese Erklärung, welche schon an und für sich nicht ganz zu billigen seyn möchte, ist für die Schule durchaus unzweckmässig; denn was könnte sich wohl der Schiiler dahei denken, wenn ihm gesagt wird, er solle Etwas wegnehmen, wenn gar nichts vorhanden ist, von dem er es nehmen könnte? muss er diese Zumuthung nicht geradezu für Unsinn erklären? Rec. möchte beinahe sagen: jede andere Erklärung, die man sonst wohl über diesen Gegenstand zu geben pflegt, sei besser und deutlicher als diese. Weshalb soll man z. B. nicht entgegengesetzte Grössen als solche erklären, welche in Bezug auf einen gewissen Fragepunkt einen Gegensatz unter einander bilden? oder die negative Zahl für sich allein betrachtet als eine Zahl definiren, welche, wenn sie in Verbindung mit andern tritt, als subtraktiv erscheint, so dass man vorläufig mit ihr wie mit dem Subtrahendus einer vollständigen Differenz rechnen muss, indem es denkbar ist, dass der Minuendus sich erst im Verlauf der Rechnung zeigt. Im darauf folgenden fünften Abschnitte werden die vier Grundoperationen mit Decimalzahlen durchaus zweckmässig und genügend vorgetragen, nur möchte es vielleicht gewagt zu nennen seyn, schon hier in diesem Kapitel, welches der Vf. für die dritte Abtheilung eines Gymnasiums bestimmt hat, Fourier's Regel der geordneten Division zu lehren. Die Regel selbst können gewiss die Schüler der Tertia fassen, den Grund aber davon ordentlich einzusehen würde Rec. selten Einem von ihnen zumuthen. Im Anhange davon zu sprechen, wäre sicher passender gewesen. Der ganze sechste Abschnitt dagegen, in welchem von der Ausziehung der Quadrat- und Kubikwurzel gesprochen wird, muss mit Ausnahme zweier Sätze geradezu verfehlt genannt werden. Zunächst wird eine involutorische Entwickelungsart von QuaA. L. Z. 1838, Zweiter Band,

[ocr errors][subsumed][ocr errors]

alsdann wird: P3 = a3 x 9 + [3a. a r*+ (3a r + b)bJ. b x6 + [3b. b.r? +(3b x + c) c), er 3 + [3c. c.r? + (3c x + d) d). d. Dass ein Schüler hierdurch irgend eine Ansicht über die Zusammensetzung und Anordnung der Po tenz eines Polynoms erhält, ist nicht gut möglich; denn wenn er auch hier ein Bildungsgesetz erkenn und demgemäss eine beliebig vielnämige Grösse p0tenzirt, so kann er doch, abgesehen dävon, dass er noch eine unangenehme Zwischenrechnung wegen der Einsetzung der Werthe für b, c, d1 u. sow. hat, sicherlich nicht die verschiedenen Bestandtheile erkennen, aus welchen das Quadrat oder der Kubus einer mehrnamigen Grösse zusammengesetzt ist. Jeden Falls wäre es vorzuziehen gewesen zu Sagen: das Quadrat eines Polynoms besteht erstens aus dem Quadrate jedes einzelnen Gliedes und zweitens aus dem doppelten Produkte jedes Gliedes in jedes fogende; der Kubus dagegen besteht aus drei von einander verschiedenen Bestandtheilen: 1) aus dem Kubus jedes einzelnen Gliedes, 2) aus dem dreifachen Produkte des Quadrates eines jeden Gliedes in jedes vorhergehende und in jedes folgende und 3) aus den sechsfachen Produkten je dreier Glieder. Diese Regeln der Potenzirung prägen sich leichter dem Gedächtnisse ein und führen schneller zum Resultat. – Auch die in demselben Abschnitt Num. 6 und 20 gerühmte Einfachheit, welche sich für die Quadrirung und Kubirung einer Decimalzahl aus dieser involutorischen Entwickelungsart ergeben soll, ist durchaus nicht gegründet; denn man muss bei dem hier angegebene Verfahren sogar bedeutend mehr Ziffern schreiben, als wenn man eine Zahl ganz einfach durch wiederholtes Multipliciren potenzirt. Um den Leser selbst darüber urtheilen zu lassen, setze ich die Regel für die Kubirung einer mehrziffrigen Decimalzahl, wie sie der Vf. S. 213. Num. 20 giebt, hier her. Es heisst: a. Man bilde den Kubus der höchsten geltenden Ziffer der gegebenen Zahl. A. Jede der übrigen Zahlen wird erhalten, wenn II1AIl I) das Dreifache der aus den r ersten gegebenen Ziffern gebildeten Zahl mit dieser Zahl multiplicirt; 2) rechts an jenes Dreifache die nächst folgende Ziffer hängt, und die dadurch erhaltene Zahl mit dieser Ziffer multiplicirt; 3) das in 2) erhaltene Produkt so unter das in 1) erhaltene stellt, dass die letzte Ziffer von jenem um zwei Stellen weiter rechts steht, als die letzte Ziffer von diesem und hierauf beide addirt; 4) die gefundene Summe endlich nochmals mit derselben Ziffer multiplicirt, wo statt r nach und nach 1, 2, 3 u. s. w. zu setzen ist. y. Die in a. und ß. zuletzt erhaltenen Zahlen werden der Reihe nach so unter einander gestellt, dass die letzte Ziffer jeder derselben um drei Stellen weiter rechts steht, als die letzte der nächst vorhergehenden. Dann ist die Summe dieser Zahlen der verlangte Kubus. Wäre also 4567 zur dritten Potenz zu erheben, so erhält man hiernach folgende Rechnung:

[ocr errors][merged small][merged small]

sonst gebräuchlichen aus dem Kubus eines Binoms abgeleiteten, in Betreff der Einfachheit und des leichtern Behaltens weit nachsteht. In Hinsicht aber auf beide Wurzeln tritt die Nothwendigkeit des Eintheilens in Klassen zu je zwei oder zu je drei Ziffern nicht sicher und bestimmt genug hervor, was gewiss geschehen wäre, wenn die Decimalzahl als ein Polynom von der Form a + 10. b + 10°. c + 10°. d + u. sw. zur zweiten und dritten Potenz erhoben und die nöthigen Bemerkungen hinzugefügt wären. – Beachtenswerth dagegen sind in diesem Abschnitte die Regeln für die Ausziehung der Quadrat- und Kubikwurzel aus einem auf eine gewisse Anzahl von Bruchstellen abgekürzten Decimalbruch. Soll nämlich ans einer auf 3 m Bruchstellen abgekürzten Decimalzahl die Kubikwurzel möglichst scharf angegeben werden, so zieht man zuerst die Kubikwurzel, so weit sich diese ohne Anhängen von Nullen darstellen lässt, betrachtet dann das dreifache Quadrat der bis dahin gefundenen Wurzel als Divisor, mit welchem man in den gebliebenen Rest nach den gewöhnlichen Regeln der Division, indem man einzelne Nullen anhängt, dividirt; dann wird sich die Anzahl der zuverlässigen Bruchstellen der Gesammtwurzel ergeben, wenn man zu % der Anzahl aller Bruchstellen des Radikanden die Ordnungszahl der ersten geltenden Ziffer der Wurzel addirt. Um bei dieser Gelegenheit zugleich eine Probe von der Art und Weise zu geben, wie der Vf. einen Gegenstand behandelt, füge ich den Beweis des eben Gesagten genau wie er sich S. 217 findet, hier bei. Ist at der auf 3 m Bruchstellen abgekürzte und a + z der vollständige Radikand; a die Kubikwurzel, so weit sie sich durch unmittelbare Ausziehung finden lässt, und a + , die vollständige Wurzel. Dann ist

[ocr errors][merged small][ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors][merged small][ocr errors][merged small]
[graphic]
« ZurückWeiter »