Abbildungen der Seite
PDF
EPUB

D

Konstruirender

positiven und negativen Zahlen. Gesetze der Ver- Reihen höherer Ordnung. Fall der Körper. PerioKindung von Gleichungen und Ungleichungen mit den der Decimalbrücher Ringerhiben Kleisu Rücksicht auf die positiven und negativen Zahlen. Kugem. Näherungswerthe für Wurzeln. Interpo Anh. Uebungsaufgaben. Zerlegung der Aggregate lation. Von der Zins- und Rentenrechnung. Abschn. Die Kombinationslehre. Abschn. V. Die vier Grundopera- XIV. in Faktoren. tionen mit Zahlen, welche durch ein bestimmtes Thail derselben; independente, rekurrirende, invoZahlensystem ausgedrückt sind, Von der abgekürz- lutorische Kombinatorik, Variationen u, s. w. zu be ten Multiplication und Division der Decimalzahlen. stimmten Summen, Wechselbeziehungen der komFourier's Regel der geordneten Anh., Zu binatorischen Operationen. Rechnender Theil der den Zahlensystemen überhaupt. Aun Kombinationslehre.TAnchingNee Kombinationsgen Flächen- und Körpermaafse. Rechnungstor lehre auf die Arithmetik. Kombinatorische Aggretheile, welche die Anwendung der dekadischen Erate gänzungen gewährt. 'Allgemeiner Beweis der Zemben. Allgemeine Anwendungen. Darstellung der

o Polynomischer Lehrsatz... Anh, Vebníior S

sätze von der Abkürzung der Zalilen irgend - Produkte play tab + lg • fappy Abschn. XV.

men.

[ocr errors]

und

[ocr errors]

nes Systems. Uebungsbeispiele. Abschn. Toh der Wahrscheinlichkeitsrechnung der Ausziehung der Quadrat- und Kubikwurzel. Von den höhern Gleichungen. Umformung der GleiAnh. Allgemeine Beziehungen. Gergonie's Methode chungen."Allgemeine Eigenschaften der Gleichunder Quadratwurzelausziehung. Uebungsbeispiele, gen in Bezug auf ihre Wurze. Grenzen der reelGrundformel zur Ausziehung der fünften Wurzel.len Wurzeln. Bestimmung der rationalen Warge Abschn. VII. Von den einfachen und zusammenge Irrationale Wurzeln der Zahlengleichunge setzten Zahlen. Allgemeine Lehrsätze. Kennzei lösung der allgemeinen Gleichungen des dritten chen der Theilbarkeit einer Zahl durch andere Zah- vierten Grades. Elimination, Anh Uebungsaufga len mit Rücksicht auf das dekadische System. Ant. ben. Ueber die imaginiren Wurzeln der GleichupAllgemeine die Theilbarkeit betreffende Lehr- gen, Die, Gaulsische Erweiterung des Cartesischen sätze. Eigenschaften der geraden und angeraden Lehrsatzes. Zahlen. Eigenschaften der vollständigen Quadrat Was die Vertheilung der Abschnitté auf die ver und Kubikzahlen. Eigenschaften der absoluten und schiedenen Schulklassen anlagt, so hat der Vfa dio relativen Primzahlen. Aufsuchung des gröfsten ge- beiden ersten für die vierte Abtheilung, die vier fdlmeinschaftlichen Theilers zweier Polynome. Eigen-genden für die dritte bestimmt, sb dal's in letzterer schaften der Zahlen in Beziehung auf das dekadische auch die Lehre von den Irrationalzahlen vorkommen System. Die periodischen Decimalbrüche. Abschn. soll. Dieses scheint dem Rec, denn doch zu gewagt VIII. Von den Potenzen, Wurzeln und Logarith- und sicher heifst es dem Geiste eines Schülers der Anh. Uebungsanfgaben. Abschn. IX. dritten Klasse zu viel zumuthen, wenn er sich eine Von den algebraischen Gleichungen des ersten Gra- richtige Vorstellung von Irrationalzahlen machen des mit einer und mit mehr als einer Hauptgröfse soll, während er noch Nichts von Potenzen und Wurund von der Auflösung der Aufgaben vermittelst der zeln weifs, denn die Ausdrücke Quadrat und Kubus, algebraischen Gleichungen. Anh. Unmittelbare Be- welche schon in den beiden ersten Abschnitten vor stimmung jeder von n Hauptgröfsen aus eben so viel kommen, können und dürfen ihm noch nichts Ande einfachen Gleichungen. Beispiele. Abschn. X. res seyn als Benennungen für die Produkte aus zwei Von den quadratischen Gleichungen. Fourier's Auf- oder drei gleichen Faktoren, keineswegs aber die lösungsweise. Anh. Uchungsaufgaben. Grundei- zweite und dritte Potenz als specielle Fälle der genschaften der imaginären Wurzelausdrücke.— Potenz im Allgemeinen. Der 7te, Ste, 9te und Abschn. XI. Allgemeine Eigenschaften der Ketten10te Abschnitt sind für die zweite Klasse und die brüche. Einfache Kettenbrüche. Periodische Ket- fünf letzten für Prima bestimmt.. tenbrüche. Anh. Erweiterung der allgemeinen Eigenschaften. Independente Darstellungsweise der Für höchst zweckmäfsig ist es zu halten, dafs Näherungsbrüche. Ausziehung der Quadratwurzel, der Vt. gleich von Anfang an, schon bei den ersten Uebungsaufgaben. Abschn. XII. Von der unbe- Elementen die Idee der Gleichung anwendet und den stimmten Analytik. Anh. Uebungsaufgaben zur Schüler die so sehr einfache, schon in der Natur der Auflösung einfacher unbestimmter Gleichungen. Bezeichnung begründete Auflösung der Gleichungen Cyklische Perioden u. s. w. Unbestimmte quadrati- vom ersten Grade lehrt, nicht gerade, dafs er ihnen sche Gleichungen. Abschn. XIII. Von den Rei- ein besonderes Kapitel widmete, sondern indem or hen: Allgemeine Begriffsbestimmungen. Figurirte sie als ganz beiläufig, als sich von selbst ergebend bei Zahlen. Arithmetische Reihen. Geometrische Rei- Gelegenheit der Umformung algebraischer "Aushen. Binominal-Reihe. Anwendung der Methode drücke mittheilt. Ebenso mufs man dem Vf. Dank der unbestimmten Koefficienten auf die Verwandlung wissen, dafs er der Theorie der Ungleichungen eine einiger Funktionen in Reihen. Von der geschenkt hat, indem er und Divergenz der Reihen. Vom Interpoliren der sie vollständig, so weit es für den vorliegenden Progressionen. Anh. Zahlenbeispiele. Allgemei- Zweck nöthig war, als abgesonderte Lehre behanalsa Geometrische delte, während sie in allen dem Rec. bekannten nere Aufgaben und Anwendungen, Geometrische

t

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

in Faktoren, als von einem ganz selbstständigen Gegenstande handelt; nur möchte Rec, dieses nicht ausschliesslich in den Anbang verwiesen, sondern auch Manches 'davon für den Abschnitt selbst, d, h. für den Schulunterricht bestimmt haben.

Lehrbüchern übergangen wird und nur einzelne Sätze daraus bei gelegentlichem Gebrauch ohne gehörigen Beweis angezogen werden, was offenbar nicht zu billigen ist. ist. Mit besonderer Vorliebe scheint die Kombinatorik behandelt zu seyn; denn wo es nur irgend möglich war, kommen durch das ganze Werk Im Allgemeinen möchten noch einige BenennunAndeutungen und Hinweisungen, auf diese Lebre dieses in gen, gor. Zwar wird in der Vorrede gesagt, dafs dieses in gen, welche durch das ganze Buch gehen nicht geder Absicht geschehen sey, den Schüler schon gleich rade zu billigen seyn; so ist der Ausdruck umgekehrim Anfange und beständig an eine bestimmte under Werth statt des zum terminus technicus gewordenen reciproker Werth gebraucht die Benennung gesetzmälsige, Anordnungsweise zu gewöhnen. Dafs tesos höchst zweckmäsig, ja durchaus nothwendig unnöthiger Weise mit Hauptgröfse vertauscht für unbekannte oder gesuchte Grösse einer Gleichung ist sex wird Niemand bezweifeln, aber der Vf. geht das von Gaufs eingeführte Zeichen für die Conhierin zu weit. Einen wesentlichen Vorzug dagegen, den dieses Lehrbuch vor vielen, ja vielleicht gruenz zweier Zablen ist ein anderes (~~) gewählt vor allen sonstigen voraus hat, ist noch dieser, dafs u. dgl. m. Es ist aber immer nicht allein überflüssig, der Vf. beständig auf den innern Zusammenhang der sondern auch gefährlich, neue, wenn auch passenLehren hier einander aufmerksam macht; sobald dere Namen für die einmal durch den Gebrauch saner einen allgemeinern Standpunkt erreicht hat, unter- ctionirten und allgemein verständlichen einzuführen; Täfst er nie darauf hinzuweisen, wie die schon früher dergleichen bringt immer Verwirrung in die Wissengefundenen specielleren Regeln in diesem allgemei- schaft und erschwert deren Studium, denn man mufs sich bei jedem neuen Buche erst in die dem Verfasneren oder ausgedehnterem Satze enthalten sind, um so dem Schüler zu zeigen, dafs die Arithmetik ein ser eigenthümliche Terminologie hineindenken und geordnetes Ganzes ist und nicht blofs eine Zusam- wohl gar bei verschiedenen Autoren unter demselben menstellung von verschiedenen unter einander unab- Namen sich gänzlich Verschiedenes denken. Wollte hängigen und beliebig zusammengewürfelten Rech- man aber mit den Benennungen in der Mathematik nungsregeln. Im Abschn. VIII. §. 64-66 befindet streng verfahren, um sie stets der durch sie bezeichsich ein Ueberblick über das gesammte Gebiet der neten Sache gehörig anzupassen, so müsste man geniedern Arithmetik, weil der Vf. hier die höchste wifs neun und neunzig Huuderttheile der gewöhnlich Stufe erreicht hat, welche die Tendenz des Buches durch zufällige Nebenbedeutung entstandenen Namen zuläfst. Er theilt die bis dahin behandelten Rech verwerfen: wie könnte man z. B. die zunächst lie nungsoperationen in direkte (Addition, Multiplika genden Namen Algebra, Geometrie u. dergl, beibetion und Potenzirung) und indirekte (Subtraktion, halten? Division, Radicirung und Exponentiirung) und führt, um die Uebereinstimmung deutlicher bervor zuheben, mehr übereinstimmende Zeichen ein, wel che, da sie nur für diesen Zweck bestimmt und angewandt werden, gewifs zu billigen sind. Die an dieser Stelle angeführten Analogieen bekommen dadurch ein sehr augenfälliges und interessantes Aus

sehn.

[ocr errors]

Um nun mehr ins Detail einzugehen, so ist der Vf., nachdem er im ersten und zweiten Abschnitt die vier Species mit absoluten Zahlen ganz zweckmäfsig durchgenommer, im dritten zu den Irrationalzahlen übergegangen. Derselbe stellt auf S. 48 die Aufgabe:,,Zu zwei gleichartigen gegebenen Gröfsen eine dritte zu finden, von welcher jene beiden Vielfache sind, unter der Voraussetzung, dafs es eine solIn den Anhängen findet man eine grofse Menge che giebt" und löst sie mit folgenden Worten: stets zum Abschnitt passender und beinahe durch-,, Sind A und B die gegebenen Gröfsen, und z. B. gängig höchst zweckmässig gewählter, mitunter aus AB, und ist jedes R eine mit A und B gleicharzu loben, dafs selbst schon der Anfänger durch sie tige Gröfse, und jedes m eine ganze Zahl, so ist angeleitet wird mit algebraischen Ausdrücken ge- mit Uebergchung des ersten Falls wandt nmzugehen und besonders auf elegante Lösung and Resultate zu sehen, was nur zu oft vernachlässigt wird, indem nicht allein Schüler, sondern häufig sogar Lehrer Alles gethan zu haben glauben, wenn sie bei einer Aufgabe nur das richtige Resultat herausbekommen, aber gar nicht darauf sehen, ob der Weg, auf welchem sie dahin gelangen, einfach und zweckmäfsig ist oder nicht. - Ausserdem

[ocr errors]

finden sich in den Anhängen manche interessante und interessant behandelte Gegenstände; so z. B. verdient der Vf. gewils vollen Dank, dafs er im Anh. zu Abschn. IV sub Num, N. von der meist ganz unberücksichtigt gelassenen Zerlegung der Aggregato

m B \Z A < (m + 1) B

m1 R1 =B < (m1 + 1) R1

[ocr errors]
[ocr errors]

R2 ZR1 < ( m2 + 1) R,

2

u. s. W.

wenn für die untern Zeichen

[merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][ocr errors][merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small]
[blocks in formation]
[ocr errors]

4

[ocr errors]

und man mufs, wegen der Voraussetzung, einmal auf einen kten Rest R kommen, von dem der nächst vorhergehende ein genaues Vielfaches ist. Dieser Rest ist die gesuchte dritte Gröfse." Nachdem nun der Beweis, dafs R ein gemeinsames Maal's für A und B sey genügend angedeutet, fährt der Vf. fort: ,,Aus dem so eben angegebenen Verfahren ergiebt sich sogleich, dafs, wenn zwei ganz beliebige gleichartige Gröfsen gegeben sind, der oben ausgeschlossene Fall eintreten kann, wo bei jeder neuen Vergleichung ein Rest übrig bleibt und man mit der Operation nie zu Ende kommt, d. h. wo es keine dritte Gröfse giebt, von der die beiden gegebenen Vielfache wären und wo demnach für jede noch so grofse Zahl q immer

PB < A < q

P+1B

[ocr errors]
[ocr errors]

Isten ist. Dann werden A und B incommensurable GröIsen im Gegensatz von den commensurabeln genannt, wo für p und q als ganze Zahlen, B= A ist." Worauf sich der hierin erwähnte oben ausgeschlossene Fall bezieht, kann Niemand wissen, da von einer Unterscheidung mehrerer Fälle vorher gar nicht die Rede war. Doch hiervon abgesehen, so kann Rec. doch nicht begreifen, wie ein Schüler, der bisher nur von ganzen oder gebrochenen rationalen Zahlen gehört hat, sich irgend Etwas unter dem hier GeBagten denken kann; wie sollte er wohl durch das Bisherige zu der Vorstellung kommen können, dafs es Zahlen (und nur um solche handelt es sich hier) geben könne, welche nicht wenigstens die Einheit oder irgend einen angebbaren Theil der Einheit zum gemeinschaftlichen Maafse hätten? Uns scheint es durchaus nothwendig, dafs man mit der Potenzen rechnung vertraut seyn müsse, um die Lehre von den Irrationalzahlen richtig auffassen zu können. Denn selbst durch das bei dieser Gelegenheit aus der Geometrie beigebrachte Beispiel, dafs Kathete und Hypothenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks incommensurabel seyen, wird der Schüler noch keineswegs zur Idee von incommensurabela Zahlengröfsen kommen, da er gerade das sich nicht wird denken, wie beide Linien durch Zahlen darstellbar sind, wenn sie nicht ein gemeinsames Maals

haben. Und dieses soll in der dritten Klasse eit nes Gymnasiums gelehrt werden! log in austeb

Kleinlich und noch dazu unrichtig ist auf S. 35 die Vorschrift, dafs die Glieder eines Verhältnisses oder einer Proportion, wenn sie aus Gröfsen 'bestehen, die durch Addition oder Subtraktion zusammen! gesetzt sind, nicht in Klammern eingeschlossen wer den dürfen. Wenn es für nöthig gefunden wardé S. 18 zu erklären, was man unter dem Quadrat einer dratwurzel definirt und nicht S. 62 ohne Weiteres ge Zahl verstehe, so mufste auch die Benennung Quabraucht werden. S. 80. Num. 25 findet sich ein

Wesentlicher Druckfehler; statt Divisor soll Dividen (Die Fortsetzung folgt,')

[ocr errors][merged small][ocr errors]

(Beschlufs von Nr. 102) 30

Am Schlufs bemerkt der Vf.: die Untersuchung, indem sie in ihren Anfang zurückkehre, sey nichts Mittel an die Hand gegeben zu haben, den lockenden Andres gewesen, als eine Ilias und Odyssee des religiösen Bewulstseyns; er wünsche seinen Zuhörern Sirenen zu entgehen, denen sie es vorbeischiffen sahen, und Lust, in der alten Heimath sich anzusicdeln; sey sie verlassen, so bedürfe es freilich vieler Irrfahrten, um die treue Penelope wieder zu fiden. Bei diesem artigen Gleichnifs bleibend, möckten wohl andre Seefahrer gegen die geographischen und ethnographischen Angaben des Vfs, allerlei EinWendungen zu machen haben. Allein bedeutender ist der Umstand, dafs die Wiedergefundenen nicht mehr Odyssee des religiösen Bewufstseyns nämlich müfsten dieselben zu seyn scheinen. Am Ende vorliegender wir nicht blofs mit einem neuern Dichter - der offenbar Hegeln und dessen Lehre kennt - sagen: „Gott

hört und liest sich selber in den Dichtern"; sondern auch:,,Gott hört und liest sich selber in den Philosophen"; und noch weiter:,,Gott predigt sich selber in der Predigt, betet zu sich selber im Gebet." Dies möchte dem religiösen Bewusstseyn schwerlich seine alte Heimath dünken, und ist gewifs der Grund, wes wegen nicht Alle, welche die dialektische Fahrt un ter Führung eines Hegelkundigen Odysseus mitzumachen sich entschlossen, in jener wiedergewiesenen Heimath die rechte ihrige anerkennen wollen, und warum so Viele die Ansiedelung ablehnen.

Pp.

[blocks in formation]

vierten Abschnitte finden sich die Rechnungsoperationen mit Aggregaten und darunter ein Kapitel über positive und negative Zahlen, welchen letz

drat und Kubus eines nach absteigenden Potenzen welche schon beim Quadrat wenig nützlich, beim einer Hauptgröfse geordneten Aggregats angegeben, Kubus aber gewifs höchst unpraktisch ist. Soll z. B. a x3 + bx2 + cx+d=P zum Quadrat erhoben werden, so schreibt der Vf.

P2 a2 x6

setze man:

=

+ (2ax + b). b x2

+ ((2 ax + b) x + c). c x2

+ [((2 ax + b)x + 2 c) x + d]. d,

ax + b = b1 b1x+c=c1 c1x+d=d1

alsdann wird: P3 = a3 x9

[ocr errors]

+ [3a.ax2+(3 ax + b) b], bx6
+ [3b1.b1x2+(3 b1 x + c) c]. cx3

2

+ [3c1.c1x2+(3 c1x+ d) d].d.

teren der Vf. die Ohmsche Definition, dafs nämlich und ist dieselbe Gröfse zum Kubus zu erheben, so eine negative Zahl der Unterschied zwischen 0 und irgend einer Zahl sey, zum Grunde legt. Diese Erklärung, welche schon an und für sich nicht ganz zu billigen seyn möchte, ist für die Schule durchaus unzweckmäfsig; denn was könnte sich wohl der Schiiler dabei denken, wenn ihm gesagt wird, er solle Etwas wegnehmen, wenn gar nichts vorhanden ist, von dem er es nehmen könnte? mufs er diese Zumuthung nicht geradezu für Unsinn erklären? Rec. möchte beinahe sagen: jede andere Erklärung, die man sonst wohl über diesen Gegenstand zu geben pflegt, sei besser und deutlicher als diese. Weshalb soll man z. B. nicht entgegengesetzte Gröfsen als solche erklären, welche in Bezug auf einen gewissen Fragepunkt einen Gegensatz unter einander bilden? oder die negative Zahl für sich allein betrachtet als eine Zahl definiren, welche, wenn sie in Verbindung mit andern tritt, als subtraktiv erscheint, so dafs man vorläufig mit ihr wie mit dem Subtrahendus einer vollständigen Differenz rechnen mufs, indem es denkbar ist, dafs der Minuendus sich erst im Verlauf der Rechnung zeigt.

Im darauf folgenden fünften Abschnitte werden die vier Grundoperationen mit Decimalzahlen durchaus zweckmälsig und genügend vorgetragen, nur möchte es vielleicht gewagt zu nennen seyn, schon hier in diesem Kapitel, welches der Vf. für die dritte Abtheilung eines Gymnasiums bestimmt hat, Fourier's Regel der geordneten Division zu lehren. Die Regel selbst können gewifs die Schüler der Tertia fassen, den Grund aber davon ordentlich einzusehen würde Rec. selten Einem von ihnen zumuthen. Im Anhange davon zu sprechen, wäre sicher passender gewesen.

Der ganze sechste Abschnitt dagegen, in welchem von der Ausziehung der Quadrat- und Kubikwurzel gesprochen wird, mufs mit Ausnahme zweier Sätze geradezu verfehlt genannt werden. Zunächst wird eine involutorische Entwickelungsart von Qua

Dafs ein Schüler hierdurch irgend eine Ansicht über die Zusammensetzung und Anordnung der Pot tenz eines Polynoms erhält, ist nicht gut möglich; denn wenn er auch hier ein Bildungsgesetz erkenna und demgemäfs eine beliebig vielnamige Gröfse potenzirt, so kann er doch, abgesehen davon, dafs er noch eine unangenehme Zwischenrechnung wegen der Einsetzung der Werthe für b1, cl, d1 u. s. w. hat, sicherlich nicht die verschiedenen Bestandtheile erkennen, aus welchen das Quadrat oder der Kubus einer mehrnamigen Gröfse zusammengesetzt ist. Jeden Falls wäre es vorzuziehen gewesen zu sagen: das Quadrat eines Polynoms besteht erstens aus dem Quadrate jedes einzelnen Gliedes und zweitens aus dem doppelten Produkte jedes Gliedes in jedes folgende; der Kubus dagegen besteht aus drei von einander verschiedenen Bestandtheilen: 1) aus dem Kubus jedes einzelnen Gliedes, 2) aus dem dreifachen Produkte des Quadrates eines jeden Gliedes in jedes vorhergehende und in jedes folgende und 3) aus den sechsfachen Produkten den sechsfachen Produkten je dreier Glieder. Diese Regeln der Potenzirung prägen sich leichter dem Gedächtnisse ein und führen schneller zum Resultat. Auch die in demselben Abschnitt Num. 6 und 20 gerühmte Einfachheit, welche sich für die Quadrirung und Kubirung einer Decimalzahl aus dieser involutorischen Entwickelungsart ergeben soll, ist durchaus nicht gegründet; denn man mufs bei dem hier angegebenen Verfahren sogar bedeutend mehr Ziffern

schreiben, als wenn man eine Zahl ganz einfach durch wiederholtes Multipliciren potenzirt. Um den Leser selbst darüber urtheilen zu lassen, setze ich die Regel für die Kubirung einer mehrziffrigen Decimalzahl, wie sie der Vf. S. 213. Num. 20 giebt, hier her. Es heifst:

a. Man bilde den Kubus der höchsten geltenden Ziffer der gegebenen Zahl.

ß. Jede der übrigen Zahlen wird erhalten, wenn

[ocr errors]

man

1) das Dreifache der aus den r ersten gegebenen Ziffern gebildeten Zahl mit dieser Zahl multiplicirt;

2) rechts an jenes Dreifache die nächst folgende Ziffer hängt, und die dadurch erhaltene Zahl mit dieser Ziffer multiplicirt;

3) das in 2) erhaltene Produkt so unter das in
1) erhaltene stellt, dafs die letzte Ziffer von
jenem um zwei Stellen weiter rechts steht,
als die letzte Ziffer von diesem und hierauf
beide addirt;

4) die gefundene Summe endlich nochmals mit
derselben Ziffer multiplicirt, wo statt r nach
und nach 1, 2, 3 u. s. w. zu setzen ist.
Die in a. und 8. zuletzt erhaltenen Zahlen wer-
den der Reihe nach so unter einander gestellt,
dafs die letzte Ziffer jeder derselben um drei
Stellen weiter rechts steht, als die letzte der
nächst vorhergehenden.

Dann ist die Summe dieser Zahlen der verlangte Kubus.

Wäre also 4567 zur dritten Potenz zu erheben, so erhält man hiernach folgende Rechnung:

64; 12,

;

4

[blocks in formation]
[blocks in formation]

wonach 138 Ziffern geschrieben werden müssen; während man bei der ganz einfachen Multiplikation deren nnr 82 schreiben darf, so der Zeitverlust bei der hier angegebenen Methode am Tage liegt.

sonst 'gebräuchlichen aus dem Kubus eines Binoms abgeleiteten, in Betreff der Einfachheit und des leichtern Behaltens weit nachsteht. In Hinsicht aber auf beide Wurzeln tritt die Nothwendigkeit des Eintheilens in Klassen zu je zwei oder zu je drei Ziffern nicht sicher und bestimmt genug hervor, was gewifs geschehen wäre, wenn die Decimalzahl als ein Polynom von der Form a + 10. b + 102. c + 103. du.sw. zur zweiten und dritten Potenz erhoben und die nö

thigen Bemerkungen hinzugefügt wären. - Beachgeln für die Ausziehung der Quadrat- und Kubiktenswerth dagegen sind in diesem Abschnitte die Rewurzel aus einem auf eine gewisse Anzahl von Bruchstellen abgekürzten Decimalbruch. Soll nämlich aus einer auf 3 n Bruchstellen abgekürzten Decimalzahl die Kubikwurzel möglichst scharf angegeben werden, so zieht man zuerst die Kubikwurzel, so weit sich diese ohne Anhängen von Nullen darstellen läfst, betrachtet dann das dreifache Quadrat der bis dahin gefundenen Wurzel als Divisor, mit welchem man in den gebliebenen Rest nach den gewöhnlichen Regeln der Division, indem man einzelne Nullen anhängt, dividirt; dann wird sich die Anzahl der zuverlässigen Bruchstellen der Gesammtwurzel ergeben, wenn man zu 2 der Anzahl aller Bruchstellen des Radikanden die Ordnungszahl der ersten geltenden Ziffer der Wurzel addirt. Um bei dieser Gelegenheit zugleich eine Probe von der Art und Weise zu geben, wie der Vf. einen Gegenstand behandelt, füge ich den Beweis des eben Gesagten genau wie er stellen abgekürzte und a+z der vollständige Radisich S. 217 findet, hier bei. Ist a der auf 3 n Bruchkand; a die Kubikwurzel, so weit sie sich durch unmittelbare Ausziehung finden läfst, und a + 5 die vollständige Wurzel, Dann ist

[blocks in formation]

Aus der Voraussetzung folgt, dafs -310-3", Ist nun

10”< a < 10”+1, so ist

[blocks in formation]

Von diesen beiden Grenzen, ist die zweite als die

Die Regel für die Ausziehung der Quadratwur- engere die allein brauchbare, so dafs

zel ist die gewöhnliche, wogegen bei der Kubikwur

zel wieder ein nach der involutorischen Kubirung ein

[ocr errors]
[ocr errors]

- (a+

[ocr errors]

gerichtetes Verfahren angegeben ist, welches dem wo v sowohl positiv als negativ seyn kann,

« ZurückWeiter »