können. Die Potenzen und Wurzelgrössen. Dieser Abschnitt ist eben so einfach, als streng mathematisch behandelt, namentlich, was die Potenzen mit negativen und Bruchexponenten anbelangt. Der Vf. sagt nämlich unter Anderem: „Hieraus folgt sogleich, dass umgekehrt das Abziehn einer Einheit vom Exponenten die Wegnahme eines Factors, d. h. die Division der Potenz durch den Grundfactor ausdrückt. Es führt aber zu dem gleichen Resultate, wenn wir, anstatt eine positive Einheit wegzunehmen, eine negative Einheit hinzufügen, und in so fern würde also eine negative Einheit im Exponenten bedeuten, dass auch der Grundfactor in der seiner Natur entgegengesetzten Beschaffenheit, d. h. als Divisor gesetzt werden soll. Wenn wir diesen Begriff einer negativen Einheit im Exponenten festhalten, so folgt hieraus, dass a2 1 = oder a a ist. Der Exponent 1 zählt den Grundfactor einmal, oder die erste Potenz ist der Grundfactor selbst, und daher pflegt man den Exponenten 1 nicht zu schreiben. Wenn wir aber zu dem Exponenten der ersten Potenz noch eine negative Einheit hinzufügen, so erhalten wir: al 1 =

aa

a

a

a oder a 1. Die Potenz mit dem Exponenten O hat daher immer die Bedeutung der Einheit. Bei der Bildung dieser Potenz haben sich die positive und die negative Einheit im Exponenten zu O aufgehoben, und eben so heben sich Factor und Divisor zu 1 auf. Auch hat o beim Zusammenzählen von Einheiten zu einer Summe dieselbe Bedeutung, als 1 beim Zusammensetzen von Factoren zu einer Potenz, indem O die Summe nicht verändert, und 1 als Factor keinen Einfluss hat" u. s. w. Die Potenzen positiver und negativer Wurzeln und die unmöglichen Grössen. Die Potenzen und Wurzeln vieltheiliger Grössen. Die arithmetischen Operationen mit zusammengesetzten Grössen von allen bisher untersuchten Formen, oder die sogenannte Buchstabenrechenkunst. - Das dekadische Zahlensystem. Die arithmetischen Operationen mit dekadisch gebildeten Zahlen. Hier wird auch die Ausziehung der Quadrat- und Cubikwurzel abgolandolt. Die Erhebung zum Quadrat lehrt der VI. auf folgende Weise:,,Wir haben schon früher für dio Quadrirung vieltheiliger Grössen die Formel (a + b + c + d etc.) " 2 α + 2ab+ b 2 + 2(a + b) c + c2 + & ( a + b + c) d + d2 etc. entwickelt, und diese kann auch hier angewendet werden, wenn wir die Grössen a, b, c, d etc. als die auf einander folgenden Glieder einer Decimalzahl be

2

trachten. Besitzt alsdann das erste Glied a irgend eine beliebige positive oder negative Rangzahl n, und ist jedes folgende Glied um eine Einheit im Range niedriger als das vorhergehende, so hat a2 die Rangzahl 2n, 2ab die Rangzahl 2n-1, und 2 die Rangzahl 2n - 2. Es ist ferner 2 (a + b) c in seinem letzten Gliede vom Range 2n 3 und c2 hat die Rangzahl 2n 4. Auf diese Weise wird die letzte Ziffer jedes folgenden Gliedes des Quadrates um eine Einheit im Range niedriger, als die letzte Ziffer des unmittelbar vorhergehenden Gliedes, wobei die Quadrate aller einzelnen Glieder der Wurzel gerade Rangzahlen besitzen, während die doppelten Produkte der vorhergehenden Glieder in ein folgendes in ihrer letzten Ziffer von ungeradem Range sind" u. s. w. Die ganze Lehre ist sehr gut behandelt, nur hätte noch angegeben werden sollen, wie man entdecken könne, ob man etwa einen Theil der Wurzel zu klein angenommen habe. Die Lehre von den Gleichungen. Die Gleichungen des ersten Grades mit einer und mit mehreren unbekannten Grössen. Einzelne Beispiele in benannten Zahlen wären wohl nicht überflüssig gewesen; doch sind die verschiedenen Formen, in welchen eine Gleichung vor ihrer Auflösung erscheinen kann, vollständig aufgeführt. Die Gleichungen des zweiten Grades. Interessant ist die Zerlegung der quadratischen Gleichungen in zwei Gleichungen des ersten Grades als Factoren. Der Vf. giebt z. B. die unreine quadratische Gleichung Ar + Bx + C = 0, und sagt dann so: ", Die Lösung derselben kann auf verschiedenen Wegen vollzogen werden, am einfachsten dadurch, dass wir sie in eine reine quadratische Gleichung umwandeln. Zu diesem Behufe dividiren wir sie durch den Coëfficienten A und bringen sie dadurch auf die Form:

B

C

A

B ZA

und da aus dem Produkte derselben

-

B2 C 442 A

x +

Von

x2 + x + = 0 hervorgeht, so folgt hieraus, A dass sich auch diese Gleichung in zwei Gleichungen des ersten Grades als Factoren zerlegen lässt, und dass daher dieses Produkt auf doppelte Weise 0 seyn kann, indem entweder der eine oder der andere Factor 0 ist. Hierin liegt der Grund, dass im Allgemeinen zwei verschiedene Werthe für x der FordeDie Gleirung der Gleichung ein Genüge leisten." chungen vom dritten und von höheren Graden. Die Logarithmen. Wünschenswerth wäre es gewesen, dass der Vf. die Lehre von der Interpolation für Zahlen von mehr als fünf Ziffern, nicht lediglich den Tafeln zu entwickeln überlassen hätte. Die Begründung derselben gehörte doch in ein Lehrbuch. Die logarithmischen Gleichungen werden natürlich nur ganz kurz berührt. Von den Eigenschaften der Zahlen, und zwar zuerst von der Theilbarkeit der Zahlen. Zweitens von den unbestimmten Gleichungen. Drittens von den rationalen und irrationalen Zahlen. Viertens von den Kettenbrüchen. den Reihen. Sowohl für die arithmetischen, wie für die geometrischen Reihen sind die zwanzig Formeln vollständig abgeleitet. Doch konnten für die arithmetischen Reihen noch die Fragen beantwortet werden: 1) wie weit man die Reihe fortsetzen müsse, um, wenn a und d entgegengesetzte Zeichen haben, ein z zu erhalten, wenn a+ und d oder ein +z, wenn a und d + ist; 2) unter welcher Bedingung = O werden könne; und 3) das wievielste Glied dann O werden müsse. Ebenso wären bei den geometrischen Reihen wohl noch die Fälle zu berücksichtigen gewesen, wo a, oder e, oder beide oder beide negativ gesetzt werden. Der zweite Haupttheil des Buches begreift die Geometrie, und auch hier geht der Vf. einen ganz eigenthümlichen Gang. Er beginnt mit der niederen ebenen Geometric, giebt, nach Vorausschickung der nothwendigsten Vorbegriffe über Linie, Winkel u. s. w., die nothwendigsten Sätze über die Congruenz der Dreiecke, und geht dann sogleich über zu der Lehre von der Proportion und

Aehnlichkeit, die auf die Lehre von den Ordinaten und Abscissen gestützt wird. Nun sagt er:,,Wir haben früher bei den congruenten Dreiecken nachgewiesen, dass die Bestandtheile derselben von einander abhängig sind, wir sind aber über die Art dieser Abhängigkeit nicht weiter eingetreten, und hier zeigt sich zuerst in einigen speciellen Fällen, auf welche Weise einige Bestandtheile die übrigen bestimmen und diese aus jenen berechnet werden können. Da aber die Kenntniss dieses arithmetischen Zusammenhanges der Theile des Dreiecks zur genauen Einsicht in die Natur desselben durchaus erforderlich ist, so wollen wir uns jetzt mit diesem Gegenstande beschäftigen. Hierdurch wird ein besonderer Abschnitt der Geometrie gebildet, den man zuweilen ganz getrennt von dieser Wissenschaft hingestellt, und alsdann mit dem Namen der ebenen Trigonometrie bezeichnet hat." Es folgt demnach sogleich die Lehre von den trigonometrischen Zahlen, auch wieder auf die Lehre von den Abscissen und Ordinaten gegründet. Die Darstellungsart des Vfs. ist folgende, wobei man sich die zugehörige Figur leicht hinzudenken kann: „, Die Lage des Punktes M in Beziehung zu der Abscissenlinie und dem Anfangspunkt A der Abscisse ist durch die beiden Coordinaten AP und PM gegeben; wenn wir uns daher die Linie AM gezogen denken, so wird auch die Länge dieser Linie und die Grösse des Winkels A durch jene Coordinaten bedingt, und umgekehrt müssen sich auch durch die Linie AM und den Winkel A die Coordinaten bestimmen lassen. Ueberhaupt stehen diese vier Grössen in einer solchen Beziehung zu einander, dass durch je zwei von ihnen die übrigen gegeben sind. Wenn wir uns daher vorstellen, dass mit einer von diesen Linien als Maass oder Einheit eine andere derselben ausgemessen und durch eine Zahl, die sich auf diese Einheit bezieht, ausgedrückt wird, so sind die beiden anderen Grössen, und namentlich der Winkel, von dieser Zahl abhängig, dergestalt, dass jede Veränderung des Winkels, vorausgesetzt, dass die Einheit sich gleich bleibt, eine Veränderung dieser Zahl und umgekehrt bedingt. Diese Zahl drückt daher die Bezichung

zwischen zwei Seiten und einem Winkel des rechtwinkeligen Dreiecks AMP aus, und wir werden späterhin sehen, dass in jedem beliebigen Dreiecke, da es sich durch einen Perpendikel in zwei rechtwinkelige Dreiecke zerlegen lässt, der Zusammenhang zwischen Seiten und Winkel mit Hülfe solcher Zahlen ausgedrückt werden kann. Aus diesem Grunde werden sie trigonometrische Zahlen genannt." Ob es nicht belehrend gewesen wäre, die Formeln für die trigonometrischen Hülfsgrössen auch auf geometrischem Wege zu entwickeln, wollen wir dahin gestellt seyn lassen, obwohl es uns fasst so scheinen möchte. Berechnung der trigonometrischen Zahlen, und die trigonometrischen Tafeln. Arithmeti scher Zusammenhang der Bestandtheile des Dreiecks, oder die ebene Trigonometrie. Die Vielecke. Die Kreislinie und ihre Verbindungen mit der geraden Linie. Auch dieser Abschnitt ist ganz eigenthümlich und mit vielem Scharfsinne behandelt. Die Flächenräume der ebenen Figuren. - Die Constructionen in der Ebene. Allgemeine Methode zur Untersuchung der elementaren Verbindungen in der Ebene. Wir haben, sagt der Vf., in unseren bisherigen Betrachtungen nur die einfachsten Verbindungen der geraden Linie und der Kreislinie in der Ebene vollzogen und die Eigenschaften dieser Verbindungen untersucht; es liegt daher noch ein weites Feld der Combination dieser Grössen vor uns ausgebreitet. Auch selbst dann, wenn wir unsere Forschungen immer weiter ausdehnen, und die Resultate derselben unserem Systeme der Geometric einverleiben, so bleiben doch immer noch neue Verbindungen zu untersuchen übrig, und es entsteht daher die Frage nach einer allgemeinen Methode, diese Untersuchungen am zweckmässigsten einzuleiten. Hier zeigen sich nun hauptsächlich zwei Woge, die man einzuschlagen pflegt, und die wir in dem Folgenden näher beleuchten wollen, Hat man nämlich irgend eine geometrische Zusammensetzung, die wir im Allgemeinen mit dem Worte Figur bezeichnen wollen, und sollen die Eigenschaften derselben erforscht werden, so sucht man durch eine Verknüpfung der einfachen Bestandtheile der Figur zu Dreiecken und Kreisen, aus den Eigenschaften dieser Grundfiguren auf die der ganzen Verbindung zu schliessen. Oder, soll eine solche Figur aus gegebenen Grössen und

gegebenen Bedingungen entsprechend, erst gebildet werden, so wird dieses ebenfalls durch Verkettung der Grundoperationen vollzogen. Bei dieser Methode, für die wir im Allgemeinen keine Regeln weiter anzugeben im Stande sind, geht man gewöhnlich von den einfachen Bedingungen aus, und schreitet allmälig zu den zusammengesetzteren Beziehungen fort. Sie wird daher die synthetische Methode genannt. Allein wenn auch dieser Gang nicht statt findet, wenn wir nur die Untersuchung bei steter Betrachtung der Figur durch die Verkettung der einfachen Beziehung des Dreieckes und des Kreises unmittelbar an den geometrischen Grössen selbst führen, so bleibt das Verfahren doch immer synthetisch. Wir können aber auch die gerade Linie und die Kreislinie durch Gleichungen ausdrücken, welche die Beziehungen zwischen den vermittelst Zahlen dargestellten Coordinaten aller Punkte dieser Linien angeben, und hieraus geht die Möglichkeit hervor, durch die Verbindung solcher Gleichungen, entsprechend den Verbindungen der durch sie repräsentirten geometrischen Grössen, die Beziehungen dieser Zusammensetzungen zu finden. Zu diesem Behufe verfahren wir im Allgemeinen auf folgende Weise. Wir nehmen das zu Suchende als schon bekannt und die zu vollziehende Verbindung als schon vollzogen an, und bildeu die den gegebenen Bedingungen entsprechenden Gleichungen, in welchen die bekannten und gegebenen Grössen als bekannte Zahlen, und die zu bestimmenden Grössen als unbekannte Zahlen erscheinen. Werden hierauf diese Gleichungen nach den Regeln der Algebra behandelt und gelöst, so gehen daraus die Zahlwerthe für die unbekannten Grössen hervor, oder man erhält arithmetische Beziehungen unter den Bestandtheilen der Figur, die man häufig in geometrische Beziehungen umsetzen kann. Da wir bei diesem Verfahren gewöhnlich von dem Zusammengesetzteren auf das Einfachere, von dem Resultate auf die dasselbe bestimmenden Grössen zurückgehn, so bezeichnen wir es mit dem Namen der analytischen Methode; jedoch sieht man nicht diesen Gang, sondern vielmehr die Ausmittelung der geometrischen Beziehungen durch Zahlen als das Charakteristische dieser Methode an," Zahlreiche Beispiele dienen dann zur Erläuterung beider Methoden. Druck und Papier sind vorzüglich.

ξ.

lösung vermittelst des dreischenkligen Zirkels, vermittelst Wachspapier und vermittelst zweier Horntafeln; doch bemerkt der Vf. mit Recht, dass ein geübter Feldmesser sie für zu weitläufig halten werde. Dann folgt Einiges über die Eigenschaften der Visirliniendreiecke bei fehlerhaften Orientirungen, über deren Construction für gegebene Orientirungen, und über deren Lage gegen den gesuchten Punkt in den fünf bestimmten Fällen. Lehmann's Auflösung durch Abschätzen nach einem Visirliniendreieck wird zwar gebilligt, jedoch mit Recht bemerkt der Vf., dass sie ein sehr gutes Augenmaass und grosse Uebung voraussetze. Der Lehrsatz, dass die gleichliegenden Seiten je zweier beim Rückwärtsabschneiden entstandenen Visirlinien dreiecke sich verhalten, wie die Perpendikel aus dem gesuchten Punkte auf diese Seiten, führte den Vf. vor einigen Jahren auf eine hier mitgetheilte Construction des gesuchten Punktes für zwei verwendete Visirdreiecke, und auf einige Auflösungen vermittelst zweier Zirkel, oder zweier Parallelen, oder des Diopterlineals. Dann giebt der Vf. eine besondere Anweisung, einen Kreis durch drei Punkte zu legen, und benutzt dieselbe zur Auflösung für ein Visirliniendreieck. Eine von Vega im zweiten Bande seiner Vorlesungen über die Mathematik gegebene Auflösung, vermittelst des Orientirungspunktes nach der Mitte, zeigt sich für die vier ersten Falle häufig unbrauchbar, desto brauchbarer aber im fünften Falle. Mit jener vergleicht der Vf. eine ihr ähnliche Auflösung durch Orientirung nach den Seitenpunkten, und zeigt, wie diese letzte in einem besonderen Falle vorzugsweise brauchbar sey. Einige Betrachtungen über das Mittelpunktsdreieck führen sodann den Vf. auf einige daraus abgeleitete Auflösungen der Aufgaben mittelst Abschneiden von Grundlinien und rechtwinkligem Schnitt; zugleich werden einige Vergleichungen angestellt, die Wahl der Grundlinien betreffend. Dann folgt eine Construction dieser Grundlinien aus einem Visirliniendreiecke, und somit eine andere Auflösung der Aufgabe. - Eine dritte aus dem Vorigen abgeleitete Auflösung mit Benutzung des Correctionswinkels. Construction jener Grundlinien aus zwei Visirlinien dreiecken. Auflösungen der Aufgabe vermittelst Benutzung je zweier Endpunkte von zwei verschiedenen Grundlinien. Abschneiden einer Seite des Mittelpunktdreiecks, und daraus abgeleitete Auflösungen der Aufgabe. Construction des Abstandes der Endpunkte jener Grundlinien von den Seiten eines Visirliniendreiecks zur Auflösung der Eine zweite Construction desselben zu Aufgabe.

mehreren solchen Auflösungen. Auflösung der Aufgabe vermittelst Construction der Orientirungspunkte aus einem Visirliniendreiecke. - Erörterungen über die Lage des gesuchten Punktes gegen die Eckpunkte der Visirliniendreiecke. Trigonometrische Auflösung des zweiten Hauptfallés. Rückwärtsabschneiden nach zwei Punkten nebst Correction. Correction fehlerhafter Schnitte. Ursachen ihrer Entstehung. Der Vf. zeigt sich überall als einen eben so scharfsinnigen Denker, wie als einen sehr geübten Geodaten; dabei ist sein Vortrag so klar und bestimmt, dass wir das Büchlein Allen, die sich mit praktischer Geometrie beschäftigen, angelegentlichst empfehlen können. empfehlen können. Papier und Druck sind vorzuglich. ξ.

NATURWISSENSCHAFT.

BERLIN, b. Veit u. Comp.: Systematische Beschreibung der Plagiostomen von Dr. J. Müller, Prof. der Anat. u. Physiol. u. Director des anat. Muscums in Berlin, und Dr. J. Henle, Prosector am anat. Museum u. Privatdocent an d. Univ. Berlin. 1ste Lieferung, enthaltend 7 Steindrucktafeln und 7 Bogen Text. 1838. (3 Rthlr. 8 gGr.) Die Veranlassung zu dieser Monographie der Plagiostomen, deren erstes Heft wir vor uns haben, war die Nothwendigkeit, einen grossen Vorrath von Materialien, die zunächst für anatomische Untersuchungen bestimmt waren, wissenschaftlich zu ordnen. Es war dies hauptsächlich ausser den älteren Vorräthen eine reichhaltige Sammlung sicilianischer Fische, von Dr. Schultz dem anatomischen Museum geschenkt, welche den gelehrten Herren Vff. zur Feststellung der Arten und ihrer Variationen dadurch besonders nützlich wurde, dass sie von den meisten einige oder eind ganze Reihe von Exemplaren enthielt; dics führte zu einer über alle Species der Haifische und Rochen ausgedehnten systematischen Arbeit. Ausser den Schätzen des anatomischen Museums benutzten die HHn. Vff. zunächst die königliche zoologische Sammlung in Berlin, welche erst kürzlich durch den Ankauf der Lamare - Piquot'schen Sammlung einen bedeutenden Zuwachs an ostindischen Thieren erhalten hatte, woraus neben der Benutzung der Literatur eine Synopsis der Gattungen hervorging, welche Hr. Prof. Müller in der Sitzung der Königl. Akademie der Wissenschaften in Berlin am 31. Juli 1837 las und bereits in Wiegmann's Archiv. Jahrg. 1837. S. 394 u. f. und S. 434 mitgetheilt worden ist. Da indess die Verwir